平均では足りているのに、なぜ行列が伸びる？
「平均では処理能力に余裕があるのに、なぜ待ち時間が生まれるの？」
平均の処理能力が足りていても、到着間隔にばらつきがあると行列が生まれるしくみを、動くシミュレーションで確かめます。
10分で見る、1つの窓口の行列
10分間に平均8人が来て、同じ10分間に10人を処理できる。
数字だけを見れば余裕があるはずなのに、なぜ列ができるのでしょうか。
到着するペースと、そのばらつきを動かして、待ち時間が生まれるしくみを確かめます。
まず予想してみよう
初期条件は、10分あたり平均8人が来て、10分あたり10人を処理できる1つの窓口です。
到着間隔のばらつきは「大きくばらつく」にして、60分間を観察します。
平均では2人分の余裕があります。この1時間に、行列はできると思いますか。
さわって確かめる
下の模型では、窓口は1つです。先に来た人から順番に処理し、処理時間は全員同じにしています。
変えるのは、来る人数、処理できる人数、来る間隔のばらつきだけです。
Touch
1つの窓口で順番に処理する模型
到着ペース、処理能力、来る間隔のばらつきを変えて、待ち人数がどう動くかを見ます。
まず予想してみよう
平均では2人分の余裕があります。この1時間に、行列はできると思いますか？
予想に正解・不正解は付けません。結果を見たあとに、あなたの予想と比べます。
比較しやすいように、同じ条件では同じ1時間を再現します。処理能力だけを変えると、同じ到着パターンで比べられます。
平均では処理能力に余裕があります。ただし、到着が重なると一時的な列ができます。
0分の状態
いま窓口は空いています。
- 現在時刻
- 0分
- 現在待っている人数
- 0人
- 窓口の状態
- 空き
- ここまでに処理を終えた人数
- 0人
- ここまでに到着した人数
- 0人
待ち人数の推移
横軸は経過時間、縦軸は待っている人数です。縦線が今見ている時刻です。
平均待ち時間は、60分までに到着した人が処理を開始するまでに待つ時間です。60分時点でまだ待っている人も、予定される処理開始までの待ち時間に含めています。
現在のばらつき: 大きくばらつく。この条件では最大待ち人数が9人、平均待ち時間が2.8分です。
何が起きた？
「平均8人」という数字は、10分ごとに必ず8人が等間隔で来る、という意味ではありません。
しばらく誰も来なかったあとに、数人が続けて来ることもあります。
窓口は一度に1人しか処理できないため、まとまって来た分は列になります。
そのあと到着が少ない時間があれば列は減りますが、処理能力の余裕が小さいほど、できた列を解消するまで時間がかかります。
しくみを解く
1. 平均は、来る時刻を約束しない
平均8人という数字だけでは、8人が等間隔で来るのか、短い時間にまとまって来るのかは分かりません。
合計や平均が同じでも、来る時刻が違えば待ち時間は変わります。
2. まとまって来た分が列になる
窓口が1分に1人処理できるときに、ほぼ同時に5人来れば、最後の人は前の4人を待つことになります。
処理能力の平均が足りていても、同じ瞬間に複数人を処理できるわけではありません。
3. 余裕は、できた列を減らすために使われる
到着より処理のほうが少し速ければ、人があまり来ない時間に列を減らせます。
一方、平均負荷が100%に近いと、列を減らすための余裕がほとんどありません。
処理能力の余裕は、何もしていない無駄な時間ではなく、ばらつきを吸収する役割も持っています。
この単純な模型の中で、条件を動かしながら確かめます。
もう一度さわって確かめる
ミッション1：ばらつきだけを変える
来る人数を8人 / 10分、処理能力を10人 / 10分のままにします。
「ほぼ一定」と「大きくばらつく」を切り替えると、最大待ち人数と平均待ち時間はどう変わるでしょうか。
ミッション2：列を短くする余裕を探す
来る人数を8人 / 10分、ばらつきを「大きくばらつく」にします。
処理能力だけを増やして、この1時間の平均待ち時間を1分未満にするには、10分あたり何人処理できればよいかを探します。
固定した1時間で比べています。どんな行列でもこの処理能力なら十分、という一般的な結論ではありません。
今日覚えること
平均の処理能力が到着ペースを上回っていても、人や仕事がまとまって来ると、一時的な列ができます。
処理能力の余裕は、できた列を減らし、ばらつきを吸収するためにも使われます。
平均負荷が100%に近いほど、一度できた列は解消しにくくなります。
この模型で省いたもの
このWeb実験は、到着間隔のばらつきに焦点を当てた学習用の単純な模型です。
窓口は1つ、先着順、処理時間は一定としています。
実際のレジ、病院、コールセンター、通信システムなどでは、複数の窓口、処理時間の違い、優先順位、途中離脱、休止、時間帯による到着数の変化なども影響します。
実際の人員配置や設備計画には、現場のデータと目的に合った分析が必要です。
参考・さらに学ぶ
- Performance Modeling and Design of Computer Systems: Queueing Theory in Action - Carnegie Mellon University の待ち行列理論と性能モデリングの資料です。